Dimostrazione di Baravalle

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La dimostrazione di Baravalle

Partiamo dal triangolo e dai quadrati; scopo del gioco è, abbastanza chiaramente, effettuare delle operazioni (più o meno) logiche e spostare l’area grigia negli altri due quadrati.

Il Teorema di Pitagora - Figura 1

All’uopo, cominciamo con il sottrarre dal quadratone un triangolo uguale a quello base; l’area annerita, mi pare abbastanza chiaro, resta identica (ho sottratto e sommato quantità uguali), ed essendo l’area un quadrato posso sempre disporre il triangolo “sottratto” come indicato.

A questo punto, se non avete combinato guai, dovreste ottenere un qualcosa del tipo della Figura 1. Se preferite una formulazione più pignola, considerate che i due triangoli sono simili in quanto i lati sono paralleli e sono uguali in quanto l’ipotenusa è uguale per costruzione.

Il Teorema di Pitagora - Figura 2
Il prossimo passo, ossia la Figura 2, è un po’ più duro.
Le due parallele lungo le quali abbiamo spostato la zona colorata formano angoli uguali o complementari con le parallele ai due cateti (sarebbero la riga sulla destra e quella in basso); considerando (ad esempio) che l’ipotenusa è perpendicolare alle due rette di spostamento, la parallela secante il lato superiore del quadrato del cateto verticale forma un angolo che è uguale all’angolo tra l’ipotenusa e il cateto verticale nel triangolo originario; quindi il triangolo che avanza dal quadrato del cateto verticale e il triangolo originario sono simili con un lato uguale e quindi uguali; stesso ragionamento si può fare per il triangolo in basso. In pratica, con l’applicazione del postulato delle parallele ci si arriva (abbastanza) facilmente.

Il Teorema di Pitagora - Figura 3

Per il prossimo passo, siete pregati di ricordarvi il Teorema di Cavalieri: due parallelogrammi aventi ugual base ed ugual altezza hanno la stessa area; in particolare (vi ricordate l’area del parallelogramma?) se uno dei due è un rettangolo (o un quadrato, nel nostro caso), possiamo effettuare lo spostamento indicato in Figura 3, arrivando (se si continua il movimento) a riempire i due quadrati. Quod Erat Demostrandum.

Tratto da: http://rudimatematici-lescienze.blogautore.espresso.repubblica.it/2009/04/15/il-teorema-di-pitagora/

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